O teorema de Euclides-Euler trouxe luz sobre os perfeitos pares, revelando que eles seguem um padrão específico. Esses números são da forma N=2^p-1 * (2^p – 1), onde p é um primo de Mersenne, ou seja, um número primo tal que 2^p-1 também seja primo. Essa formulação levou à segunda conjectura de que haveria uma quantidade infinita de primos de Mersenne.
Marin Mersenne foi um dos primeiros a explorar esses números, identificando que 2^p – 1 é primo para certos valores de p. No entanto, a lista correta dos primos de Mersenne demorou 300 anos para ser confirmada, revelando a complexidade envolvida nesse campo da matemática.
Com o avanço da computação, a busca por primos de Mersenne ganhou um impulso significativo. O método LLT, desenvolvido por Édouard Lucas e Henry Lehmer, foi implementado computacionalmente por Raphael Robinson, resultando na descoberta de vários primos de Mersenne. A partir da década de 1990, a Grande Busca na Internet por Primos de Mersenne (GIMPS) foi criada, permitindo que computadores ao redor do mundo colaborassem na busca por primos cada vez maiores.
Atualmente, a GIMPS já descobriu 51 primos de Mersenne, com o maior deles contendo mais de 24 milhões de dígitos. Esses números têm aplicações práticas em áreas como criptografia, destacando a importância da pesquisa nesse campo da matemática.
Quanto aos perfeitos ímpares, os desafios continuam. As condições necessárias para que esses números existam são complexas, exigindo um grande número de dígitos e a não divisibilidade por certos valores. A questão sobre a existência ou não de números perfeitos ímpares permanece como um dos desafios mais difíceis da matemática, conforme afirmou Euler. A busca por esses números continua, mantendo viva a tradição de investigação e descoberta no campo dos números perfeitos.
